حل تمرین 4تا7 صفحه 127 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! برای بررسی حد در یک نقطه مرزی دامنه، ابتدا باید خود **دامنه تابع** را تعیین کنیم. 🧠 --- ### ۱. تعیین دامنه تابع ($D_f$) تابع $f(x) = \sqrt{x^۲ - x}$ یک تابع رادیکالی است. عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $$x^۲ - x \ge ۰ \implies x(x - ۱) \ge ۰$$ **تعیین علامت**: * ریشه‌ها: $x=۰$ و $x=۱$. * دامنه: $athbf{D_f = (-\infty, ۰] \cup [۱, \infty)}$ ### ۲. بررسی حد چپ در $x = ۱$ * **حد چپ ($athbf{x \to ۱^-}$)**: یعنی $x$ از مقادیر **کوچکتر از ۱** به ۱ نزدیک می‌شود (مثلاً $۰.۹، ۰.۹۹، ots$). * **ناحیه همسایگی چپ ۱**: ناحیه $x < ۱$ در نزدیکی ۱، بازه $athbf{(۰, ۱)}$ است. * **نتیجه**: برای هر $x \in (۰, ۱)$، عبارت $x(x - ۱)$ **منفی** است (به عنوان مثال $۰.۵(۰.۵ - ۱) = -۰.۲۵$). * **دلیل**: چون عبارت زیر رادیکال برای $x$های نزدیک به ۱ از سمت چپ **منفی** است، تابع $f(x)$ در همسایگی چپ $x=۱$ **تعریف نشده** است. **نتیجه**: حد چپ تابع $f(x)$ در نقطه $x = ۱$ **وجود ندارد** (تابع تعریف نشده است).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! در این تمرین، باید رفتار تابع را در **همسایگی راست** $athbf{x = ۲}$ بررسی کنیم، مخصوصاً به دلیل وجود تابع **جزء صحیح** در مخرج. 🧠 --- ### ۱. بررسی مخرج و دامنه **شرط دامنه**: مخرج $\ne ۰$. $$[x] - ۲ \ne ۰ \implies [x] \ne ۲$$ * **ناحیه ممنوعه**: $[x] = ۲$ در بازه $athbf{[۲, ۳)}$ اتفاق می‌افتد. پس $athbf{x \in [۲, ۳)}$ در دامنه نیست. ### ۲. بررسی حد راست ($athbf{x \to ۲^+}$) * **مفهوم**: وقتی $x$ از مقادیر **بزرگتر از ۲** به ۲ نزدیک می‌شود (مثلاً $۲.۰۱, ۲.۰۰۱, ots$). * **ناحیه**: این ناحیه دقیقاً بازه $athbf{(۲, ۳)}$ است. * **نتیجه**: چون برای تمام $x \in (۲, ۳)$، $athbf{[x] = ۲}$ است، مخرج $athbf{[x] - ۲ = ۲ - ۲ = ۰}$ می‌شود. **نتیجه**: تابع $f(x)$ در **همسایگی راست $x=۲$ تعریف نشده** است (مخرج همیشه صفر است). **نتیجه نهایی**: حد راست تابع $f(x)$ در نقطه $x = ۲$ **وجود ندارد** (زیرا تابع در همسایگی راست تعریف نشده است).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! این تمرین تفاوت بین **حد تابع جزء صحیح** (الف) و **جزء صحیح حد تابع** (ب) را نشان می‌دهد. 🧠 --- ### ۱. تحلیل تابع اصلی و حد آن **تابع**: $f(x) = (x - ۱)^۲ + ۲$. (سهمی با رأس در $(۱, ۲)$). **الف) $\lim_{x \to ۱} f(x)$**: چون $f(x)$ یک تابع چندجمله‌ای است و در $x=۱$ پیوسته است، حد آن برابر با مقدار تابع است: $$\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱) = (۱ - ۱)^۲ + ۲ = \mathbf{۲}$$ --- ### ب) محاسبه حدود **۱. الف) $\lim_{x \to ۱} f$ (حد تابع جزء صحیح)**: * **مفهوم**: وقتی $x \ne ۱$ و $x \to ۱$، مقدار $f(x) = (x - ۱)^۲ + ۲$ **بزرگتر از ۲** است (چون $(x-۱)^۲ > ۰$). * **مقدار تابع**: $f(x)$ کمی بزرگتر از ۲ است (مثلاً $۲.۰۰۰۱$). * **جزء صحیح**: $f = [۲ + \epsilon] = \mathbf{۲}$ $$\mathbf{\lim_{x \to ۱} f = ۲}$$ **۲. ب) $[\lim_{x \to ۱} f(x)]$ (جزء صحیح حد تابع)**: * **مفهوم**: ابتدا حد را محاسبه کرده و سپس جزء صحیح آن را می‌گیریم. $$\lim_{x \to ۱} f(x) = ۲$$ $$\mathbf{[\lim_{x \to ۱} f(x)] = [۲] = ۲}$$ --- **نتیجه**: اگرچه جواب نهایی در این مورد (نزدیک شدن به عدد صحیح) برابر است، اما روش محاسبه آن‌ها متفاوت است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۲۸ حسابان یازدهم سلام! تابع $\mathbf{f(x) = |x|}$ یک تابع بنیادی است که در همه جا پیوسته است. 💡 --- ### الف) محاسبه $\lim_{x \to ۰} |x|$ **۱. حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$)**: $|x| = -x$. $$\lim_{x \to ۰^-} |x| = \lim_{x \to ۰^-} (-x) = -۰ = \mathbf{۰}$$ **۲. حد راست ($athbf{x \to ۰^+}$)**: $|x| = x$. $$\lim_{x \to ۰^+} |x| = \lim_{x \to ۰^+} x = ۰ = \mathbf{۰}$$ **۳. نتیجه**: چون حد چپ و راست برابرند. $$\mathbf{\lim_{x \to ۰} |x| = ۰}$$ --- ### ب) آیا تساوی $\lim_{x \to a} |x| = |a|$ برقرار است؟ **۱. بررسی تساوی**: این تساوی بیان می‌کند که **حد تابع قدر مطلق در هر نقطه $a$، برابر با مقدار تابع قدر مطلق در آن نقطه** است. **۲. توجیه**: تابع $athbf{f(x) = |x|}$ در تمام نقاط $\mathbf{a \in \mathbb{R}}$ یک **تابع پیوسته** است (نمودار آن (شکل V) در هیچ نقطه‌ای حفره یا پرش ندارد). **۳. قانون پیوستگی**: برای توابع پیوسته، $\mathbf{\lim_{x \to a} f(x) = f(a)}$. $$\mathbf{\lim_{x \to a} |x| = |a|}$$ **نتیجه**: $\mathbf{بله}$، تساوی $\lim_{x \to a} |x| = |a|$ برای هر $\mathbf{a \in \mathbb{R}}$ **برقرار است**.